{"id":1637,"date":"2012-11-27T11:19:25","date_gmt":"2012-11-27T10:19:25","guid":{"rendered":"http:\/\/roboblog.fatal-fury.de\/?p=1637"},"modified":"2012-11-27T12:36:08","modified_gmt":"2012-11-27T11:36:08","slug":"numerische-stabilitat","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/roboblog.fatal-fury.de\/?p=1637","title":{"rendered":"Numerische Stabilit\u00e4t"},"content":{"rendered":"<p>Wie betrachten die numerische Stabilit\u00e4t von <span class='MathJax_Preview'><img src='http:\/\/roboblog.fatal-fury.de\/wp-content\/plugins\/latex\/cache\/tex_338cddc02c15716a678f8d3d7952ee82.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=\"\" \/><\/span><script type='math\/tex'><\/script> [1]<br \/>\nDiese Formel ist f\u00fcr x nahe Null numerisch instabil! Es findet eine Ausl\u00f6schung bei der Rechnung <span class='MathJax_Preview'><img src='http:\/\/roboblog.fatal-fury.de\/wp-content\/plugins\/latex\/cache\/tex_6768fe0d585a6e641267bc95cbf5af40.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=\"\" \/><\/span><script type='math\/tex'><\/script> statt.<br \/>\nRechnen wir es von Hand f\u00fcr <span class='MathJax_Preview'><img src='http:\/\/roboblog.fatal-fury.de\/wp-content\/plugins\/latex\/cache\/tex_0e318c0bfb798818f504841b66773fb8.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=\"\" \/><\/span><script type='math\/tex'><\/script> durch:<br \/>\n<span class='MathJax_Preview'><img src='http:\/\/roboblog.fatal-fury.de\/wp-content\/plugins\/latex\/cache\/tex_67c157465bf1ea031e573326a8ea6fd0.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=\"\" \/><\/span><script type='math\/tex'><\/script><br \/>\n<span class='MathJax_Preview'><img src='http:\/\/roboblog.fatal-fury.de\/wp-content\/plugins\/latex\/cache\/tex_7e79c6a1b8a87a0a615282a68463d71e.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=\"\" \/><\/span><script type='math\/tex'><\/script><br \/>\n<span class='MathJax_Preview'><img src='http:\/\/roboblog.fatal-fury.de\/wp-content\/plugins\/latex\/cache\/tex_5a5073acdcb788075591e5c386cf7efd.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=\"\" \/><\/span><script type='math\/tex'><\/script><br \/>\n<span class='MathJax_Preview'><img src='http:\/\/roboblog.fatal-fury.de\/wp-content\/plugins\/latex\/cache\/tex_eefccb93014be1cae81edf00c97bef9e.gif' style='vertical-align: middle; border: none; padding-bottom:1px;' class='tex' alt=\"\" \/><\/span><script type='math\/tex'><\/script> <\/p>\n<p>Im letzten Schritt passiert die Ausl\u00f6schung. Zwar sieht das Ergebnis 1.25e-11 gut aus. Diese Zahl l\u00e4sst sich auch problemlos als Gleitkommazahl darstellen, aber die Anzahl der signifikaten Stellen hat sich drastisch reduziert. Von Anfangs 13 auf drei herunter! So etwas passiert immer bei der Subtraktion von recht gleich gro\u00dfen Zahlen (mit gleichem Vorzeichen).<\/p>\n<p>Beispiel mit <span class='MathJax_Preview'><img src='http:\/\/roboblog.fatal-fury.de\/wp-content\/plugins\/latex\/cache\/tex_561b529836673ac608786439a2087c04.gif' style='vertical-align: middle; border: none; padding-bottom:2px;' class='tex' alt=\"\" \/><\/span><script type='math\/tex'><\/script>:<\/p>\n<pre>\r\n 3.1415926 \r\n-3.1415925\r\n=0.0000001\r\n<\/pre>\n<p>So etwas will man m\u00f6glichst vermeiden. Es gilt also die Formel umzuschreiben. Multipliziert man sie im Z\u00e4hler wie im Nenner mit  <span class='MathJax_Preview'><img src='http:\/\/roboblog.fatal-fury.de\/wp-content\/plugins\/latex\/cache\/tex_b9d71b14a15116cd7a78a286b40e058a.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=\"\" \/><\/span><script type='math\/tex'><\/script> , also in einer Form wo das st\u00f6rende -  durch ein + ersetzt worden ist, und k\u00fcrz:<br \/>\n<span class='MathJax_Preview'><img src='http:\/\/roboblog.fatal-fury.de\/wp-content\/plugins\/latex\/cache\/tex_9d8152b3ae45e75e07d1e63cfd27b4e0.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=\"\" \/><\/span><script type='math\/tex'><\/script><\/p>\n<p>Im Bild kann man die beiden Funktionen direkt vergleichen. In der numerisch instabilen Funktion (der roten) treten schnell eine Art \"diskretisierungs\" Fehler auf. Es fehlen eben die Nachkommastellen ;)<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/roboblog.fatal-fury.de\/wp-content\/uploads\/2012\/11\/numerische-stabilitaet.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/roboblog.fatal-fury.de\/wp-content\/uploads\/2012\/11\/numerische-stabilitaet-150x150.png\" alt=\"numerische stabilitaet\" title=\"numerische stabilitaet\" width=\"150\" height=\"150\" class=\"alignnone size-thumbnail wp-image-1638\" \/><\/a><\/p>\n<p>[1] Beispiel aus der Vorlesung CE - Computer Engineering der TU Darmstadt<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Wie betrachten die numerische Stabilit\u00e4t von [1] Diese Formel ist f\u00fcr x nahe Null numerisch instabil! Es findet eine Ausl\u00f6schung bei der Rechnung statt. Rechnen wir es von Hand f\u00fcr durch: Im letzten Schritt passiert die Ausl\u00f6schung. Zwar sieht das Ergebnis 1.25e-11 gut aus. 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